近十年来，我花了很少的工夫，在清华大学聘请了天下第一流的学者。 我很高兴中国数学和根底迷信水平日益提高，取得了巨大的繁荣。
这一天的讲座，我想说的是非常重要的事情，我一直期待着和我的工作、学生们分享。 这就是中国数学和根底迷信的前路。
我们要去的大概是引导全世界数学和根底迷信的方向，这才称得上天下第一流。 如果常识跟在别人后面，那就不能束缚主要课题。 现在面临的所谓卡脖子的课题，也是很多主要的课题，因为依然和别人一起走。 所以这一天，我想和专家全部讨论一下，什么是一流常识，难得的是一流常识在数学领域是如何培养出来的？
学什么，问什么
前言：常识有两个整体。 一个是学习，另一个是倾听。 孔子说。 “学而不思则罔，思而不学则危。 想的事本来就是听的事。 我们中国人善于测试，练习别人带来的各种方式和本领，经常锻炼。 但是，假设擅长解答，对于迷信的繁荣，奉献并不多。 现在，我们不断获得奥运会金牌，但还没有出现很多束缚少数常识问题的学者。 所以，必须确定什么是常识，什么是一流的常识。
其次，要有常识就要愤怒。 因为没有根本的器具，光靠想法是不实用的。 因为孔子不思考不学习，只是思考不练习是不够的。 数学迷信兴起至今已有二千五百多年的历史，先后出现了许多天分数学家。 从欧多里得、毕达哥拉斯、阿基米德，再到后来的费马、笛卡尔、牛整理、高斯、欧拉、拉格朗日、黎曼、希尔伯特特殊，数学这栋楼越来越高。 无论我们有多好的天分，有多善于思考，我们的常识，察觉的能力都必须以他们的常识为根基。 微积分从阿基米德时期开始缓慢繁荣，最终由牛整理，莱布尼茨结束。 这一历史无可奈何，每一步都必须建立在过去常识的基础上。 牛整理曾经说，如果我看起来比别人远，那是因为我站在伟人的肩膀上。 这不是谦虚。 他对事情的处理是在古人的基础上进行的。 这一天，我们要带领天下常识的潮流，学好古人的常识，但在这段历史中，愤怒主要是一致的。
为什么要提出课题呢
寻找天人乐处，花时间扩大度量。 这是清华大学求真书院的院训。 究其基础，我们所掌握的常识，特别是迷信和数学，自然都与优秀有关。 我们自然要在神秘的历史中，找到它最让人心动、最快乐的地方。 如果我们不理解和欣赏大自然的神秘和喜悦，常识就始终行不通。 这就是寻找天人之乐的地方。 拓长时度量，创造常识不仅仅是为了得奖和成为院士，常识恐怕在迷信史上留下了主要的轨迹。 《诗经》 《楚辞》和李白、杜甫的诗，几千年过去了，仍在心潮澎湃地读着。 这是因为他们对自然之美、对人间喜怒哀乐的形容，至今仍深表关注，这就是我所说的天人合一之处。 我们的常识也应该引起后世的共识，让他们知道我们在这一天开始的方向，发明的纪律是什么样的主要意义。
我们必须思考整体常识前进的方向到底是什么，应该如何认识数学的外在组织。 这是许多大多数学者经常思考的课题。 常识家经常提出很多课题。 假设不出原创课题，多回答别人的课题，这看起来不像数学和迷信的精髓。 我认为主要是找到自己的方向。 《礼记 学记》“像撞钟一样善待提问者，打小的就打小的，打大的就打大的”。 我们碰撞的钟表，当然是万物运行的规律。 深刻的课题大概指向神秘的深处，很快就会帮助我们引出其他用心的相关课题。
希尔伯特23问道
希尔伯特23问是数学史上一个非常主要的课题集。 1900年8月8日，德国数学家希尔伯特作了题为《数常识题》的报告。 他认为，从19世纪到20世纪投入，数学家们提出了几个主要课题，应对学科前进的影响是毋庸置疑的。 他说，某些学科可能会产生巨大的主要课题，才能将保持活力。 这23个课题，从根本上来说也许可以说是引领了数学界今后50年的繁荣。 这23个课题都不是他提出的，但也席卷了雷曼等域前数学家的课题。 这些课题迄今全部不受束缚，但个中整体课题的束缚，匆匆进入了数学系的主要繁华。
1978年，我帮普林斯整理了下等争议院的架构，办了几年难得的集会微分什么论坛，带领着很多数学家、什么学者争论着几个方面的主要方向。 晚会最终几个星期来，我应大众的要求，提出了120个哪些方面最主要的课题。 我提出的课题无法与希尔伯特23题相比，但对于当时是怎么遇到的，主要是在什么地方进行思考，指出学科前进的方向，束缚之后培养什么样的主要局和作用，仍然是一个心里话。 最近，一些好的课题可能不会马上培养出大的作用，但必须花时间消化、思考。 但是，这些课题一提出来，往往会作用于数学的某些学科的方向。 我提出的120个问题促进了主要学科的一些分解。
那时提出的这些课题，现在精确的三分之一被束缚了，整个过程就是反面的束缚，根本印证了预期的方向是主要的、正确的，很多数学家在束缚这些课题方面也失去了好的局面。
好的课题是什么样的
好的课题会迅速展开。 通过自己思考这个课题，可以花各种各样的心思，写出各种各样的文章。 无论最终是否受到束缚，都以咨询、争论这一课题的历史为主。 好的课题往往简洁英俊。 束缚它，它的地址范畴中的许多课题，就像长江中有一块巨石一样被束缚
将巨石挪开，水流就会即刻变得通顺。可否听出鼓的面积？
我要举例的第一个课题，是对于声音以及多少何的联系。
古希腊时期，人类就认得到声音由一些根底音配合而成。不管弹钢琴或是打鼓，敲击会孕育分歧频次的稳定，发出声音。稳定由多个根底波配合而来，对于应各个根底音级。每个根底波有流动的频次，频次则可由鼓的谱算计失去。稳定会孕育很英俊的图形，多少何学家十分器重。
有名的多少何学家博赫纳（Salomon Bochner）提过的一个课题：咱们能否听出鼓的形态？这一课题的思维也许回首至1910年。其时，量子力学刚抽芽，物理学家洛伦兹（H.A. Lorentz）提出：是否也许经过鼓声的谱以及频次估算鼓的面积？希尔伯特对于这个乐趣的课题很感趣味，但以为它太难，有生之年，弗成能看到它的束缚。但过了一年后，希尔伯特的学生外尔(Hermann Weyl)就把课题束缚了。外尔以为，谱越来越高，根据量子力学的见解，即谱的见解，也许推想到个别的多少何改变，进而推导出外尔方程。这是个很主要的方程，对于此日的数学仍然有主要的作用。外尔的思路以及方式还也许上前回首。欧拉花了良多功夫争论正在k为正数时，1/nk的以及，繁华出主要的泛函方程。黎曼将其扩张，写下了有名的黎曼 函数。这个划时期的处事,作用了数论的繁华。外尔又扩张了黎曼 函数的思维到普通的空间，用以争论 听鼓声估算面积 这一课题，并最终束缚。
可否听出鼓的面积 这个课题由洛伦兹从物理征象归来，提出课题，最终由外尔束缚。这个课题简明、当然且乐趣，而其束缚课题的方式最终引发了多少何学上没有少主要的掘起。
谱也许视为多少何图形的量子消息，真相上也许失去量子消息以及多少何的联系。谱向无比增大时, 失去个别的多少何消息，席卷曲率、面积元等;谱小时，失去多少何的拓扑或是宏不雅消息。多少何学家对于多少何图形最小的谱也有粘稠的趣味。
对于微小曲面的料想
咱们糊口中也许看到良多微小曲面。例如，正在盛有肥皂水的盆里，将铁线放正在水中提拉进去，变成的薄薄的肥皂膜，便是微小曲面。而正在测验中，咱们也许组织更多分歧征象的微小曲面。多少何学家热心于领会它们的性子。1977年，我提出一个课题：若何能找到一切齐备没有界限的微小曲面？颠末40年的尽力，我的同窗米克斯（William Hamilton Meeks III）一经根底束缚了这个课题。
我的第二个料想更容易，到而今还没全数束缚。我提出，可弗成以找到三维球中一切紧致微小曲面？我的冤家劳森（Herbert Blaine Lawson，Jr.）组织出一些乐趣的例子，被称作劳森曲面（Lawson Surface）。假使将这个曲面放正在四维空间的单元球里，然后从圆心取直线以及这个曲面的每一个点联合起来可失去一个三维锥，即一个三维微小流形。这以后成为狭义相对于论中形容时空的主要器械。我束缚的另一个主要课题 狭义相对于论中的正质量料想，简捷来讲，主要方式便是争论肥皂泡正在时空引力下若何改变。
假设把微小流形看成一个鼓面，敲击后失去一个谱，那么最小的谱等于几许？1974年，我提出，三维球中的微小曲面第一个谱 1等于2。我与良多冤家议论，他们都被这奥妙的预测吓了一跳，卡拉比学生以为我很有洞悉力。多少年后，有两位个数学家证实了三维球中的微小曲面最小的谱正在1以及2中间，这个答案一经正在微小曲面的争论中很实用了。
数学中的 赋比兴
告竣上述料想的历程中，我的根底方式是，较为两个全面分歧的见解,一个是多少何的见解，一个是量子力学的见解，最终得出曲面最小的谱等于2，固然还有待矜重的证实。
数学是很奥妙的常识，它是一个讲推理、讲法则的常识，经过较为分歧的法则以及思维，就也许失去成心义的料想，这本来是数学争论中的习用技巧。
这与诗经里谨慎的 赋比兴 也有着出色的联系。所谓 比 ，即用分歧的风景类比，例如杨柳代表分袂大概佳丽的腰肢。讲起分袂，没有免想起《诗经》中的 昔我往矣,杨柳依依 ，周邦彦笔下 长条故惹行客。似牵衣待话，别情无极 ，和柳永的名句 杨柳岸，晨风残月 ，而说到佳丽的腰肢，则忆起张先的 细看诸处好。人人道，柳腰围 ，这都是缘于柳条细而柔所作的类比,更有温庭筠的 柳丝长，春雨细，花外漏声迢递 、周邦彦描述的 长亭路，年去岁来，应折柔条过千尺
各种分歧的较为，是数学中常用的目的。数学争论者们应该思虑这个思路，没有能只做题目，没有能看到数字便是数字、看到方程便是方程，它们中间本来是有良多也许较为、也许有关之处的。
好课题从何而来
好课题从甚么地点来，何如才华束缚它？开始要领会分歧的概念。史乘上，良多大常识的告竣，每每是分歧常识之间碰撞孕育的火花促进的。例如前方提到的外尔，他是一个渺小的数学家，也是一个渺小的物理学家，他正在量子力学以及多少何学之间搭建了一座桥梁。而因这座桥梁，也孕育出一批很好的数学家，以及一个全新的商量途径。因而我以为，找到自身的方向，是提出好课题的主要路子。
其它，要束缚一个大课题时，每每要有很好的器械。器械的繁华是不停精益求精的历程，每个新器械又匆匆进常识连续繁华。新器械让咱们看到分歧征象，选拔咱们对付课题的深度，匆匆发咱们进一步繁华器械。器械越多，越能孕育更粗浅的、更无效的束缚课题的方式。每一次器械的前进，都能动员成心义的、主要的、攻破性的常识的繁华。
正在伽利略时期，他观察到地球是太阳系里的恒星，引发了牛整理力学的繁华。以来，人类看得更远。到了20世纪初期，咱们领会到太阳系外还有星河系，和分歧的星云。每一次腾跃都是陪同着 望远镜 这个器械的不停繁华。数学上也异样如许。
例如费马料想距今一经有300多年的史乘。30年前，英国大数学家怀尔斯（Andrew Wiles）才束缚了这个课题。正在他以前，多少百年来，大数学家们都有趣味来束缚这个课题。费马以及欧拉束缚了n=3时的状况，利用了椭圆曲线的方式。19世纪，德国数学家库默尔（Ernst Kummer）,认为自身也许束缚费马课题，虽然没有乐成，但他引入了代数中的主要概念，即巴望(ideal)，进而动员一多量其他课题的束缚。到了20世纪，呈现了更多分歧的方式，个中一个是由日本数学家谷山丰（Yutaka Taniyama)、志村五郎(Goro Shimura)，和法国大数学家韦伊（Andre Weil）提出的谷山-韦伊-志村料想(Taniyama-Weil-Shimura Conjecture)，成为束缚费马料想的主要器械，最终由怀尔斯束缚了这个300余年的题目。
观赏数学之美的同时，要观赏数学美与真面前的纪律，经过不停较为，提出主要的、拥有开创性的课题。一个学科主要的课题，必需正在不停练习中，才华徐徐贯通。
何为渺小的处事
渺小的数学家都有一套自身对于常识的管见（Philosophy），这些系统的、艰深的、斩新的概念给古老的数学注入新的活气，孕育一系列成心义的课题。正如西方戏剧《浮士德》、中国古典名著《红楼梦》一律，都是由分歧全体组成，每个全体又自成一格，但不管是牡丹依然绿叶，终须专家大纲挈领，方可将琐屑的全体配合一番，最终变成一副美丽的绘画。
咱们也要制造一个这样的大纲。正在这大纲的诱导下，将各个分歧的学科分支放正在一统，最终构建出一座宏大的大厦。
固然，要告竣这种宏不雅的管见，并非一人临时之工、一人临时之问，有时长达一个世纪，方才看得出这些大纲的能力。
1854年，黎曼给出了多少何学的一个大纲。他经过物理学的等价原理制作了斩新的内蕴多少何，告竣了狭义相对于论的主要全体。二十世纪初期，外尔开垦李群的示意外貌以及榜样场外貌，成为今生外貌物理的根底。韦伊则正在上世纪定下用代数多少何算作器械硏究数学的方向，告竣了数学史乘上一个渺小料想 Weil料想。我的冤家朗兰兹（Robert Langlands）五十多年基础出有名的Langlands大纲，用群示意外貌争论数学，孕育了一多量主要的方向以及课题。这些处事可谓大气鼓鼓澎湃。
通常渺小的处事，都是饱读文献、 望尽海角路 得来的了局。我正在20世纪70年代开创今生多少何分解时，主要的信心是用函数以及定义的微分方程来形容空间，又经过多少何来领会函数以及微分方程。
好课题的多少个性格
数学与文学有一样之处。文学用简明的语言形容咱们看到的征象。数学也讨厌简明。普通来说，假使命题没有够简明，则难以深切，固然，深切的课题也没有特定很简明。总的来讲，一个好的数常识题，要有深度、简明、英俊、乐趣。
甚么叫深度？深度便是束缚一个课题后，也许引领新的方向，看到更深切的图景。
甚么是简明、英俊？正在数学上，大当然的美景也许经过很简捷的方程注释领会。牛整理的方程、爱因斯坦方程、狄拉克方程，都是极简明的，归纳了大当然当中良多英俊的征象，蕴含了大当然的神秘。文学用很简捷的语言形容大当然的风光，让咱们孕育情绪的共识。好的数学，也能正在咱们心坎孕育共识。昔日，我听到卡拉比的语言后，孕育很大的振动。我感慨假设恐怕领会他提出的料想，我将束缚数学里一***课题。
第一流的课题特定要有深度，同时自己很英俊，很成心义，让人很有趣味。例如庞加莱料想、费马课题、卡拉比料想等，都是有深度、乐趣味、很简明的大课题，是一流的课题。
争论数学正在于争论数学的深度、意思以及实质。多少十年来，咱们看到，有些主要的课题被束缚了，最出名的是四色课题（Four color problem），即一张地图只需四种神采符号就渊博。其束缚的最终多少步，是经过算计机告竣的。但咱们对于这个课题自己的意思，其配合意思、多少何意思，还没有深切领会。正在我可见，这个课题本来没有全数束缚，指望以来恐怕更深切地领会它。而今良多数常识题，尤为是利用数学，都是算计机算进去的，有时分大概是对于的，有时分大概是错误的。这个中最大的课题是，咱们对于课题的组织、对于整体常识的组织并没有领会，这些尚没有能算是第一流的答案，也弗成能正在工业界孕育引领风骚的一流本领。
对付一些课题来讲，乐趣性比深度更大。我也做过一致的课题，例如我48年前告竣的一篇小文章，证实了一个空间，曲率大于0时，只有没有是紧致的，其体积无比大。虽然没有算是个很有深度的课题， 虽大道，必有可不雅者焉 。课题只有乐趣味，均可以算是一个好课题。
进步找出主要课题的才略
咱们指望学生有视野、要努力、要提问，这是很主要的锻炼。有视野很主要，跑到高山上以更广泛的视野看天下。假设没有器械，就只可了望，所以掌握器械也很主要。20世纪70年代，我为领会决分歧的课题，读了良多书，席卷量子力学、多少何等等，从中取得了器械,得出了主要的结果。这边我也指望专家做常识的时分，特定要一步一步扎实地走。提出课题是一个最主要的方法，提出课题之后还要恐怕束缚它，就算没有能束缚，也要研究出新的器械、新的方向。
我以为，此日的中国根底迷信想要繁华，最主要的是提出课题。咱们要教育而今的年老人，帮忙他们进步找出主要课题的才略。问一个成心思的课题，同时束缚它，假使束缚的方式是昔人没有走过的路，这个历程令人满意，比成为天下上最宽绰的人还令人快乐。这也是我做常识的观感。
起初告竣卡拉比料想之后,我引用了晏多少道的两句词 落花人独立，细雨燕双飞 。以此来形貌自身的神采。我计划束缚卡拉比料想的时分，没有人批准这个料想是对于的。 落花人独立 说的是，我独立时告竣它、观赏它，感慨很中意。而 细雨燕双飞 ，是形容我的觉得，感慨自身与大当然混合正在一统。
我想，做一流常识的学者都有一致感化，这就像画家告竣一副英俊绘画之后的心计。我也争持要激动年老的学者，好好地想，学好的常识、问好的课题，为研究大当然的神秘尽力，为追寻大当然中的纪律而琢磨常识。
报告人：丘成桐 报告所在：清华大学人文清华讲坛 报告时光：二〇二二年九月
丘成桐 现任清华大学讲席教授、丘成桐数学迷信焦点主任、求真书院院长，北京雁栖湖利用数学争论院院长，人选中国迷信院外籍院士、美国国家迷信院院士、美国艺术与迷信院院士、俄罗斯迷信院外籍院士等。前后取得菲尔兹奖、麦克阿瑟奖、克劳福德奖、沃尔夫数学奖、马塞尔 格罗斯曼奖。